, решить задачу для подготовки к ГИА. В треугольнике ABC угол B равен 120 градусам, сторона AB на 7 корень квадратный из 3 меньше п

Пожалуйста, помогите решить задачу для подготовки к ГИА. В треугольнике ABC угол B равен 120 градусам, сторона AB на 7 корень квадратный из 3 меньше полупериметра треугольника ABC. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AC и AB.

  • Это скорее алгебраическая задача.

    Пусть АВ = с; BC = a; AC = b; 

    p = (a + b + c)/2;

    p — c = z = 7√3; или b + a — c = 2*z;

    Радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен

    r = S/(p — a); или r = 2*S/(b + c — a); 

    Теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z = b + a — c;

    r = 2*S*2*z/((b + c — a)*(b — c  +a)) = 4*S*z/(b^2 — (c — a)^2) = 4*S*z/(b^2 — a^2 — c^2 + 2*a*c);

    Теперь надо подставить S = a*c*sin(B)/2 и b^2 = a^2 + c^2 — 2*a*c*cos(B); получается

    r = 2*z*a*c*sin(B)/(2*a*c — 2*a*c*cos(B)) = z*sin(B)/(1 — cos(B)); это ответ в общем случае.

    Если подставить числа z = 7√3; sin(B) = √3/2; cos(B) = -1/2, то r = 7;

     

    Я решил добавить кое-что — мало ли, кому пригодится.

    Соотношение r = S/(p — a); где r — радиус вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать очень просто. Если соединить центр О этой окружности с вершинами треугольника АВС, то 

    S = Sabo + Saco — Sbco (Sabo — это площадь треугольника АВО, и так далее)

    В каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая — к тому же — сторона треугольника АВС.

    S = AB*r/2 + AC*r/2 — BC*r/2 = (c + b — a)*r/2 = (p — a)*r; где p = (a + b + c)/2;

    ЧТД.

    Отсюда, кстати, сразу можно получить очень веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы Герона для площади)

    S^2 = r*ra*rb*rc;

    где r — радиус вписанной окружности, ra, rb, rc — радиусы трех вневписанных окружностей треугольника АВС. 

Комментарии 1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *